Suite de Fibonacci et Nombre d’or

 Suite de Fibonacci et Nombre d’or.

Cette suite a été imaginée pour résoudre le problème suivant. Un couple de lapins est placé dans une enceinte. Combien de couples de lapins peuvent être produits par celui-ci si on suppose que tous les mois chaque couple engendre un nouveau couple et que les lapins sont immortels ? Leur nombre sera progressivement croissant : 1,1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, 89,144,233…

Chaque terme est la somme des deux termes précédents ainsi 89 + 144 =233.

Le rapport de 2 nombres successifs de la suite tend vers une limite qui est le nombre d’or.

1/1 =1

2/1 =2

3/2 =1,5

5 /3=1,66

8 /5=1, 6

13 /8=1,625

21/13 = 1,615

34/21 =1, 6190

55/34 = 1,6176

89/55 =1, 6182

144 / 89 =1, 6180

233 /144 =1, 618055

 Le nombre d’or est égal à 1,61803   c’est-à-dire:1+V5 /2 .Ce nombre appelé divine proportion était déjà utilisé en architecture par les Egyptiens (Pyramide de Gizeh) et par les Grecs. Il est la seule solution positive de l’équation x² = x+1

Si on réalise un carré dont le côté est un nombre de Fibonacci par exemple 13, sa superficie est de 13 × 13 = 169.

Les nombres de cette suite immédiatement  supérieur et inférieur le rectangle  sont respectivement 21 et 8 . Le rectangle 21 x8 a une superficie de 168 , donc très voisine du carré .

En utilisant ce schéma ,la différence de surfaces entre carré et  rectangle est toujours égale à 1  quels que soient les éléments de la suite .Plus le nombre de Fibonacci  est grand, plus la différence entre le carré et le rectangle est proportionnellement réduite et plus la superficie du rectangle se rapproche de celle du carré.

2x2 =4                                                 3x1 =3

13x13 =169                                       21x8  =168

233 × 233 = 54289                        144 x 377 = 54 288

46368x46368 =2149991424     75025x28657=2149991425