Les diagonales de l'octogone

Combien y a-t-il de diagonales dans un octogone?

-Le 1er élève, le moins instruit, ne sait même pas ce que c’est un octogone.
-Le 2ème  ,un peu distrait, trace un octogone  et ses diagonales et se trompe en comptant le nombre de diagonales.
-Le 3ème, un peu plus appliqué, arrive à compter les 20 diagonales ; ce n’est pas si mal.
-Le 4ème enfin, le plus doué, fait de tête le calcul:
 n  x  (n -3) :2  =  8 x 5: 2  = 20                                                 
et donne l’explication suivante:  Il y a 8 sommets et de chaque sommet on ne peut tracer que 5 diagonales car il ne peut y avoir de diagonale avec le sommet lui-même et les 2 sommets adjacents et comme chaque diagonale réunit 2 sommets il faut diviser par 2 .
Donc 3 côtés    3 x 0:2 =0    diagonale dans le triangle             
     4 côtés        4 x 1:2 =2     diagonales dans le rectangle       
     5 côtés        5 x2:2 =5      diagonales
     8 côtés        8 x 5 =20      diagonales
     20 côtés     20 x 17:2 = 170 diagonales
     100 côtés  100 x 97:2 =4850 diagonales