Dénombrer une armée (Sunzi Suanjing 孙子算经)

Dénombrer une armée (Sunzi Suanjing 孙子算经)

Le problème a été semble-t-il posé pour la première fois dans le  Sunzi Suanjing   ( 3è siècle) pour comptabiliser une armée.

Si les soldats sont rangés par 3, il en reste 2

Si les soldats sont rangés par 5, il en reste 3

Si les soldats sont rangés par 7, il en reste 2

Notons que 3,5,7 sont premiers entre eux c’est à dire que leur plus grand commun diviseur(PGCD) est 1

Combien l’armée comporte- t-elle de soldats ?

Le plus petit commun multiple(PPCM) est =3x5x7=105

Le module M=105

Le module M3=5x7 =35

Le module M5=3x7=21

Le moduleM7=3x5=15

Pour chacun de ses modules on recherche un multiple dont le reste de la soustraction par rapport à M est =1

M5 =21 – 20 (multiple de 5)=1
M7=15 -14(multiple de 7) =1

                        M3=35 – (multiple de 3) = différend de 1

                        Il faut dans ce cas considérer 2M3

                        2M3 =70-69 (multiple de 3) =1

(70x2)+(21x3)+(15x2) =233

Le nombre de soldats est donc :233+ou- 105

C’est à dire :23,128,233,338….